Integral de (1-e^(-x))*2*e^(-2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{- x}$.

      Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{2} - 2 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- 2 x} + \frac{2 e^{- 3 x}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} 2 \left(1 - e^{- x}\right) = \left(2 e^{x} - 2\right) e^{- 3 x}$

   2. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u - 2}{u^{4}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u - 2}{u^{4}} = \frac{2}{u^{3}} - \frac{2}{u^{4}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{u^{2}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

         El resultado es: $- \frac{1}{u^{2}} + \frac{2}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- e^{- 2 x} + \frac{2 e^{- 3 x}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} 2 \left(1 - e^{- x}\right) = 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 3 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{- 2 x}\, dx = 2 \int e^{- 2 x}\, dx$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- 2 x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{- 3 x}\right)\, dx = - 2 \int e^{- 3 x}\, dx$

         1. que $u = - 3 x$.

            Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{- 3 x}}{3}$

      El resultado es: $- e^{- 2 x} + \frac{2 e^{- 3 x}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\frac{2}{3} - e^{x}\right) e^{- 3 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\frac{2}{3} - e^{x}\right) e^{- 3 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\frac{2}{3} - e^{x}\right) e^{- 3 x}+ \mathrm{constant}$