Integral de (e^(4*x)+4)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{4 x}$.

      Luego que $du = 4 e^{4 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{2} + 8 u + 16}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} + 8 u + 16}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 8 u + 16}{u}\, du}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + 8 u + 16}{u} = u + 8 + \frac{16}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 8\, du = 8 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{u}\, du = 16 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 8 u + 16 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{8} + 2 u + 4 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x} + 4 \log{\left(e^{4 x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{4 x} + 4\right)^{2} = e^{8 x} + 8 e^{4 x} + 16$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 8 x$.

         Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{8 x}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 e^{4 x}\, dx = 8 \int e^{4 x}\, dx$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{4 x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      El resultado es: $16 x + \frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(e^{4 x} + 4\right)^{2} = e^{8 x} + 8 e^{4 x} + 16$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 8 x$.

         Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{8 x}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 e^{4 x}\, dx = 8 \int e^{4 x}\, dx$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{4 x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      El resultado es: $16 x + \frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x} + 4 \log{\left(e^{4 x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x} + 4 \log{\left(e^{4 x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{8 x}}{8} + 2 e^{4 x} + 4 \log{\left(e^{4 x} \right)}+ \mathrm{constant}$