Integral de x*((x+y)/(y+1/2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x + y}{y + \frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2 y + 1} + \frac{2 x y}{2 y + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{2 y + 1}\, dx = \frac{2 \int x^{2}\, dx}{2 y + 1}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3 \left(2 y + 1\right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x y}{2 y + 1}\, dx = \frac{2 y \int x\, dx}{2 y + 1}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} y}{2 y + 1}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3 \left(2 y + 1\right)} + \frac{x^{2} y}{2 y + 1}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x + y}{y + \frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x y}{2 y + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{2} + 2 x y}{2 y + 1}\, dx = \frac{\int \left(2 x^{2} + 2 x y\right)\, dx}{2 y + 1}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x y\, dx = 2 y \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} y$

         El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} y$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} y}{2 y + 1}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x + y}{y + \frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{y + \frac{1}{2}} + \frac{x y}{y + \frac{1}{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{y + \frac{1}{2}}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{y + \frac{1}{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{3 \left(y + \frac{1}{2}\right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x y}{y + \frac{1}{2}}\, dx = \frac{y \int x\, dx}{y + \frac{1}{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} y}{2 \left(y + \frac{1}{2}\right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3 \left(y + \frac{1}{2}\right)} + \frac{x^{2} y}{2 \left(y + \frac{1}{2}\right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 x + 3 y\right)}{3 \left(2 y + 1\right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 x + 3 y\right)}{3 \left(2 y + 1\right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 x + 3 y\right)}{3 \left(2 y + 1\right)}+ \mathrm{constant}$