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Resolución de integrales/ (x-y)/ sin((x-y)/2)

Integral de sin((x-y)/2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi             
   /              
  |               
  |     /x - y\   
  |  sin|-----| dy
  |     \  2  /   
  |               
 /                
 0
∫02πsin⁡(x−y2) dy\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin{\left(\frac{x - y}{2} \right)}\, dy 
Integral(sin((x - y)/2), (y, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. que u=x−y2u = \frac{x - y}{2}.

    Luego que du=−dy2du = - \frac{dy}{2} y ponemos −2du- 2 du:

    ∫(−2sin⁡(u)) du\int \left(- 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(u) du=−2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = - 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(u)2 \cos{\left(u \right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    2cos⁡(x−y2)2 \cos{\left(\frac{x - y}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2cos⁡(x2−y2)2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2cos⁡(x2−y2)+constant2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2cos⁡(x2−y2)+constant2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                 
 |    /x - y\               /x - y\
 | sin|-----| dy = C + 2*cos|-----|
 |    \  2  /               \  2  /
 |                                 
/
∫sin⁡(x−y2) dy=C+2cos⁡(x−y2)\int \sin{\left(\frac{x - y}{2} \right)}\, dy = C + 2 \cos{\left(\frac{x - y}{2} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
      /x\
-4*cos|-|
      \2/
−4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} 
=
= 
      /x\
-4*cos|-|
      \2/
−4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} 
-4*cos(x/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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