Integral de sqrt(1+3/2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{3 x}{2} + 1$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 \sqrt{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 \int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \left(\frac{3 x}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\text{True}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 x + 2}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \sqrt{3 x + 2}\, dx}{2}$

      1. que $u = 3 x + 2$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$