Integral de (cosx+(x+1/2)^2-1/2x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + \frac{1}{2}$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} + x + \frac{1}{4}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{3}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{3}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{24} + \sin{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{24} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{24} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$