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Resolución de integrales/ cosx×sinx/(a^2sin^2x+b^2cos^2x)dx

Integral de cosx×sinx/(a^2sin^2x+b^2cos^2x)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |       cos(x)*sin(x)        
 |  ----------------------- dx
 |   2    2       2    2      
 |  a *sin (x) + b *cos (x)   
 |                            
/                             
0
∫01sin⁡(x)cos⁡(x)a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((cos(x)*sin(x))/(a^2*sin(x)^2 + b^2*cos(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x)u = a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}.

    Luego que du=(2a2sin⁡(x)cos⁡(x)−2b2sin⁡(x)cos⁡(x))dxdu = \left(2 a^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 b^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) dx y ponemos dudu:

    ∫12a2u−2b2u du\int \frac{1}{2 a^{2} u - 2 b^{2} u}\, du

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12ua2−2ub2=12u(a−b)(a+b)\frac{1}{2 u a^{2} - 2 u b^{2}} = \frac{1}{2 u \left(a - b\right) \left(a + b\right)}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫12u(a−b)(a+b) du=∫1u du2(a−b)(a+b)\int \frac{1}{2 u \left(a - b\right) \left(a + b\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2(a−b)(a+b)\frac{\log{\left(u \right)}}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    log⁡(a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x))2(a−b)(a+b)\frac{\log{\left(a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x))2(a−b)(a+b)+constant\frac{\log{\left(a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x))2(a−b)(a+b)+constant\frac{\log{\left(a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                     / 2    2       2    2   \
 |      cos(x)*sin(x)               log\a *sin (x) + b *cos (x)/
 | ----------------------- dx = C + ----------------------------
 |  2    2       2    2                  2*(a + b)*(a - b)      
 | a *sin (x) + b *cos (x)                                      
 |                                                              
/
∫sin⁡(x)cos⁡(x)a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x) dx=C+log⁡(a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x))2(a−b)(a+b)\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2 \left(a - b\right) \left(a + b\right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |       cos(x)*sin(x)        
 |  ----------------------- dx
 |   2    2       2    2      
 |  a *sin (x) + b *cos (x)   
 |                            
/                             
0
∫01sin⁡(x)cos⁡(x)a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
=
= 
  1                           
  /                           
 |                            
 |       cos(x)*sin(x)        
 |  ----------------------- dx
 |   2    2       2    2      
 |  a *sin (x) + b *cos (x)   
 |                            
/                             
0
∫01sin⁡(x)cos⁡(x)a2sin⁡2(x)+b2cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + b^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)*sin(x)/(a^2*sin(x)^2 + b^2*cos(x)^2), (x, 0, 1))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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