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Resolución de integrales/ sin5x/ sinx*sin5x

Integral de sinx*sin5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  sin(x)*sin(5*x) dx
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0
∫01sin⁡(x)sin⁡(5x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)*sin(5*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(x)sin⁡(5x)=16sin⁡6(x)−20sin⁡4(x)+5sin⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} = 16 \sin^{6}{\left(x \right)} - 20 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \sin^{2}{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫16sin⁡6(x) dx=16∫sin⁡6(x) dx\int 16 \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡6(x)=(12−cos⁡(2x)2)3\sin^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12−cos⁡(2x)2)3=−cos⁡3(2x)8+3cos⁡2(2x)8−3cos⁡(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡3(2x)8) dx=−∫cos⁡3(2x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

                1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

                  El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                  1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                    Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                El resultado es: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Método #3

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                  1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                    Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                1. que u=2xu = 2 x.

                  Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                El resultado es: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)16\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3cos⁡(2x)8) dx=−3∫cos⁡(2x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2x)16- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

          El resultado es: 5x16+sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)4+3sin⁡(4x)64\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (12−cos⁡(2x)2)3=−cos⁡3(2x)8+3cos⁡2(2x)8−3cos⁡(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡3(2x)8) dx=−∫cos⁡3(2x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

                El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)16\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3cos⁡(2x)8) dx=−3∫cos⁡(2x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2x)16- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

          El resultado es: 5x16+sin⁡3(2x)48−sin⁡(2x)4+3sin⁡(4x)64\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

      Por lo tanto, el resultado es: 5x+sin⁡3(2x)3−4sin⁡(2x)+3sin⁡(4x)45 x + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−20sin⁡4(x)) dx=−20∫sin⁡4(x) dx\int \left(- 20 \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡4(x)=(12−cos⁡(2x)2)2\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (12−cos⁡(2x)2)2=cos⁡2(2x)4−cos⁡(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=4xu = 4 x.

                Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: −15x2+5sin⁡(2x)−5sin⁡(4x)8- \frac{15 x}{2} + 5 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{8}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫5sin⁡2(x) dx=5∫sin⁡2(x) dx\int 5 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 5x2−5sin⁡(2x)4\frac{5 x}{2} - \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: sin⁡3(2x)3−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)8\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

  3. Ahora simplificar:

    sin⁡(4x)8−sin⁡(6x)12\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

  4. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(4x)8−sin⁡(6x)12+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(4x)8−sin⁡(6x)12+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       3                
 |                          sin(2*x)   sin (2*x)   sin(4*x)
 | sin(x)*sin(5*x) dx = C - -------- + --------- + --------
 |                             4           3          8    
/
∫sin⁡(x)sin⁡(5x) dx=C+sin⁡3(2x)3−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)8\int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
- --------------- + -------------
         24               24
−5sin⁡(1)cos⁡(5)24+sin⁡(5)cos⁡(1)24- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} 
=
= 
  5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
- --------------- + -------------
         24               24
−5sin⁡(1)cos⁡(5)24+sin⁡(5)cos⁡(1)24- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} 
-5*cos(5)*sin(1)/24 + cos(1)*sin(5)/24
Respuesta numérica [src] 
-0.0713156870635805
-0.0713156870635805

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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