Integral de (e^(2x))/(e^x+3) dx

1. que $u = e^{x}$.

   Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{u}{u + 3}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{u}{u + 3} = 1 - \frac{3}{u + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{u + 3}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u + 3}\, du$

         1. que $u = u + 3$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u + 3 \right)}$

      El resultado es: $u - 3 \log{\left(u + 3 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $e^{x} - 3 \log{\left(e^{x} + 3 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} - 3 \log{\left(e^{x} + 3 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - 3 \log{\left(e^{x} + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - 3 \log{\left(e^{x} + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$