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Resolución de integrales/ (x+y)/ x^2+y/ 2(x^2+y^2)dx+(x+y)^2

Integral de 2(x^2+y^2)dx+(x+y)^2 dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
  /                            
 |                             
 |  /  / 2    2\          2\   
 |  \2*\x  + y / + (x + y) / dx
 |                             
/                              
0
∫01((x+y)2+2(x2+y2)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x + y\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)\, dx 
Integral(2*(x^2 + y^2) + (x + y)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=x+yu = x + y.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        (x+y)33\frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x+y)2=x2+2xy+y2\left(x + y\right)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xy dx=2y∫x dx\int 2 x y\, dx = 2 y \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2yx^{2} y

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫y2 dx=xy2\int y^{2}\, dx = x y^{2}

        El resultado es: x33+x2y+xy2\frac{x^{3}}{3} + x^{2} y + x y^{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2(x2+y2) dx=2∫(x2+y2) dx\int 2 \left(x^{2} + y^{2}\right)\, dx = 2 \int \left(x^{2} + y^{2}\right)\, dx

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫y2 dx=xy2\int y^{2}\, dx = x y^{2}

        El resultado es: x33+xy2\frac{x^{3}}{3} + x y^{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 2x33+2xy2\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x y^{2}

    El resultado es: 2x33+2xy2+(x+y)33\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x y^{2} + \frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x33+2xy2+(x+y)33+constant\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x y^{2} + \frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x33+2xy2+(x+y)33+constant\frac{2 x^{3}}{3} + 2 x y^{2} + \frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                          3      3         
 | /  / 2    2\          2\          (x + y)    2*x         2
 | \2*\x  + y / + (x + y) / dx = C + -------- + ---- + 2*x*y 
 |                                      3        3           
/
∫((x+y)2+2(x2+y2)) dx=C+2x33+2xy2+(x+y)33\int \left(\left(x + y\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + y^{2}\right)\right)\, dx = C + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x y^{2} + \frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
           2
1 + y + 3*y
3y2+y+13 y^{2} + y + 1 
=
= 
           2
1 + y + 3*y
3y2+y+13 y^{2} + y + 1 
1 + y + 3*y^2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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