Sr Examen
Integral de 1/(1+sinx+2cosx) dx
Solución
Ha introducido
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pi -- 3 / | | 1 | --------------------- dx | 1 + sin(x) + 2*cos(x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(1/(1 + sin(x) + 2*cos(x)), (x, 0, pi/3))
Respuesta (Indefinida)
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/ / /x\\ / /x\\ | log|1 + tan|-|| log|-3 + tan|-|| | 1 \ \2// \ \2// | --------------------- dx = C + --------------- - ---------------- | 1 + sin(x) + 2*cos(x) 2 2 | /
$$\int \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 3 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
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/ ___\ / ___\
| \/ 3 | | \/ 3 |
log|1 + -----| log|3 - -----|
log(3) \ 3 / \ 3 /
------ + -------------- - --------------
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
/ ___\ / ___\
| \/ 3 | | \/ 3 |
log|1 + -----| log|3 - -----|
log(3) \ 3 / \ 3 /
------ + -------------- - --------------
2 2 2
$$- \frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
log(3)/2 + log(1 + sqrt(3)/3)/2 - log(3 - sqrt(3)/3)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.