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Resolución de integrales/ ((2x^2+41x-91))/((x-1)(x+3)(x-4))

Integral de ((2x^2+41x-91))/((x-1)(x+3)(x-4)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |         2                  
 |      2*x  + 41*x - 91      
 |  ----------------------- dx
 |  (x - 1)*(x + 3)*(x - 4)   
 |                            
/                             
0
∫01(2x2+41x)−91(x−1)(x+3)(x−4) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(2 x^{2} + 41 x\right) - 91}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 4\right)}\, dx 
Integral((2*x^2 + 41*x - 91)/((((x - 1)*(x + 3))*(x - 4))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+41x)−91(x−1)(x+3)(x−4)=−7x+3+4x−1+5x−4\frac{\left(2 x^{2} + 41 x\right) - 91}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 4\right)} = - \frac{7}{x + 3} + \frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x - 4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7x+3) dx=−7∫1x+3 dx\int \left(- \frac{7}{x + 3}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x+3)- 7 \log{\left(x + 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x−1 dx=4∫1x−1 dx\int \frac{4}{x - 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−1)4 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x−4 dx=5∫1x−4 dx\int \frac{5}{x - 4}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 4}\, dx

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−4)5 \log{\left(x - 4 \right)}

      El resultado es: 5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+41x)−91(x−1)(x+3)(x−4)=2x2+41x−91x3−2x2−11x+12\frac{\left(2 x^{2} + 41 x\right) - 91}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 4\right)} = \frac{2 x^{2} + 41 x - 91}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x2+41x−91x3−2x2−11x+12=−7x+3+4x−1+5x−4\frac{2 x^{2} + 41 x - 91}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} = - \frac{7}{x + 3} + \frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x - 4}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7x+3) dx=−7∫1x+3 dx\int \left(- \frac{7}{x + 3}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x+3)- 7 \log{\left(x + 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x−1 dx=4∫1x−1 dx\int \frac{4}{x - 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−1)4 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x−4 dx=5∫1x−4 dx\int \frac{5}{x - 4}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 4}\, dx

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−4)5 \log{\left(x - 4 \right)}

      El resultado es: 5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+41x)−91(x−1)(x+3)(x−4)=2x2x3−2x2−11x+12+41xx3−2x2−11x+12−91x3−2x2−11x+12\frac{\left(2 x^{2} + 41 x\right) - 91}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 4\right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} + \frac{41 x}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} - \frac{91}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2x3−2x2−11x+12 dx=2∫x2x3−2x2−11x+12 dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x3−2x2−11x+12=928(x+3)−112(x−1)+1621(x−4)\frac{x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} = \frac{9}{28 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{12 \left(x - 1\right)} + \frac{16}{21 \left(x - 4\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫928(x+3) dx=9∫1x+3 dx28\int \frac{9}{28 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{28}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x+3)28\frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{28}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−112(x−1)) dx=−∫1x−1 dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{12}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)12- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1621(x−4) dx=16∫1x−4 dx21\int \frac{16}{21 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{16 \int \frac{1}{x - 4}\, dx}{21}

            1. que u=x−4u = x - 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(x−4)21\frac{16 \log{\left(x - 4 \right)}}{21}

          El resultado es: 16log⁡(x−4)21−log⁡(x−1)12+9log⁡(x+3)28\frac{16 \log{\left(x - 4 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12} + \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{28}

        Por lo tanto, el resultado es: 32log⁡(x−4)21−log⁡(x−1)6+9log⁡(x+3)14\frac{32 \log{\left(x - 4 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{6} + \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{14}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫41xx3−2x2−11x+12 dx=41∫xx3−2x2−11x+12 dx\int \frac{41 x}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\, dx = 41 \int \frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx3−2x2−11x+12=−328(x+3)−112(x−1)+421(x−4)\frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} = - \frac{3}{28 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{12 \left(x - 1\right)} + \frac{4}{21 \left(x - 4\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−328(x+3)) dx=−3∫1x+3 dx28\int \left(- \frac{3}{28 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{28}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x+3)28- \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{28}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−112(x−1)) dx=−∫1x−1 dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{12}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)12- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫421(x−4) dx=4∫1x−4 dx21\int \frac{4}{21 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx}{21}

            1. que u=x−4u = x - 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−4)21\frac{4 \log{\left(x - 4 \right)}}{21}

          El resultado es: 4log⁡(x−4)21−log⁡(x−1)12−3log⁡(x+3)28\frac{4 \log{\left(x - 4 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12} - \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{28}

        Por lo tanto, el resultado es: 164log⁡(x−4)21−41log⁡(x−1)12−123log⁡(x+3)28\frac{164 \log{\left(x - 4 \right)}}{21} - \frac{41 \log{\left(x - 1 \right)}}{12} - \frac{123 \log{\left(x + 3 \right)}}{28}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−91x3−2x2−11x+12) dx=−91∫1x3−2x2−11x+12 dx\int \left(- \frac{91}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\right)\, dx = - 91 \int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−2x2−11x+12=128(x+3)−112(x−1)+121(x−4)\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 12} = \frac{1}{28 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{12 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{21 \left(x - 4\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫128(x+3) dx=∫1x+3 dx28\int \frac{1}{28 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{28}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)28\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{28}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−112(x−1)) dx=−∫1x−1 dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{12}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)12- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫121(x−4) dx=∫1x−4 dx21\int \frac{1}{21 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{21}

            1. que u=x−4u = x - 4.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)21\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{21}

          El resultado es: log⁡(x−4)21−log⁡(x−1)12+log⁡(x+3)28\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{28}

        Por lo tanto, el resultado es: −13log⁡(x−4)3+91log⁡(x−1)12−13log⁡(x+3)4- \frac{13 \log{\left(x - 4 \right)}}{3} + \frac{91 \log{\left(x - 1 \right)}}{12} - \frac{13 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}

      El resultado es: 5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)+constant5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)+constant5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                             
 |                                                                              
 |        2                                                                     
 |     2*x  + 41*x - 91                                                         
 | ----------------------- dx = C - 7*log(3 + x) + 4*log(-1 + x) + 5*log(-4 + x)
 | (x - 1)*(x + 3)*(x - 4)                                                      
 |                                                                              
/
∫(2x2+41x)−91(x−1)(x+3)(x−4) dx=C+5log⁡(x−4)+4log⁡(x−1)−7log⁡(x+3)\int \frac{\left(2 x^{2} + 41 x\right) - 91}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right) \left(x - 4\right)}\, dx = C + 5 \log{\left(x - 4 \right)} + 4 \log{\left(x - 1 \right)} - 7 \log{\left(x + 3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo - 9*pi*I
−∞−9iπ-\infty - 9 i \pi 
=
= 
-oo - 9*pi*I
−∞−9iπ-\infty - 9 i \pi 
-oo - 9*pi*i
Respuesta numérica [src] 
-179.816012014299
-179.816012014299

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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