Integral de exp(x)/(1-exp(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u - 1}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u - 1}\, du = - \int \frac{1}{u - 1}\, du$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u - 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{1 - e^{x}} = - \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx$

      1. que $u = e^{x} - 1$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$