Integral de (x^2+1/x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{9} + 3 u^{6} + 3 u^{3} + 1}{u^{8}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{9} + 3 u^{6} + 3 u^{3} + 1}{u^{8}}\, du = - \int \frac{u^{9} + 3 u^{6} + 3 u^{3} + 1}{u^{8}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{9} + 3 u^{6} + 3 u^{3} + 1}{u^{8}} = u + \frac{3}{u^{2}} + \frac{3}{u^{5}} + \frac{1}{u^{8}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{5}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{4 u^{4}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - \frac{3}{u} - \frac{3}{4 u^{4}} - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{u} + \frac{3}{4 u^{4}} + \frac{1}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{4}}{4} + 3 x - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{3} = x^{6} + 3 x^{3} + 3 + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{4}}{4} + 3 x - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{3} = \frac{x^{9} + 3 x^{6} + 3 x^{3} + 1}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{9} + 3 x^{6} + 3 x^{3} + 1}{x^{3}} = x^{6} + 3 x^{3} + 3 + \frac{1}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{4}}{4} + 3 x - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(4 x^{6} + 21 x^{3} + 84\right) - 14}{28 x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(4 x^{6} + 21 x^{3} + 84\right) - 14}{28 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(4 x^{6} + 21 x^{3} + 84\right) - 14}{28 x^{2}}+ \mathrm{constant}$