Integral de ((16-x)^2)-(x-4)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 16 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(16 - x\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(16 - x\right)^{2} = x^{2} - 32 x + 256$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 x\right)\, dx = - 32 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 256\, dx = 256 x$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 16 x^{2} + 256 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(x - 4\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(x - 4\right)^{2}\, dx$

      1. que $u = x - 4$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{\left(16 - x\right)^{3}}{3} - \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- 12 x^{2} + 240 x - 1344$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 12 x^{2} + 240 x - 1344+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 12 x^{2} + 240 x - 1344+ \mathrm{constant}$