Integral de ((4x^3)+(4x)+1)/(x^(1/4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(16 u^{14} + 16 u^{6} + 4 u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 u^{14}\, du = 16 \int u^{14}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 u^{15}}{15}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 u^{6}\, du = 16 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{16 u^{15}}{15} + \frac{16 u^{7}}{7} + \frac{4 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{16 x^{\frac{15}{4}}}{15} + \frac{16 x^{\frac{7}{4}}}{7} + \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(4 x^{3} + 4 x\right) + 1}{\sqrt[4]{x}} = 4 x^{\frac{11}{4}} + 4 x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{\frac{11}{4}}\, dx = 4 \int x^{\frac{11}{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{4}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{15}{4}}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{\frac{15}{4}}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{\frac{3}{4}}\, dx = 4 \int x^{\frac{3}{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{4}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{\frac{15}{4}}}{15} + \frac{16 x^{\frac{7}{4}}}{7} + \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(28 x^{3} + 60 x + 35\right)}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(28 x^{3} + 60 x + 35\right)}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(28 x^{3} + 60 x + 35\right)}{105}+ \mathrm{constant}$