Integral de (4x^2-9)/(2x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} - 9}{2 x + 3} = 2 x - 3$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3\right)\, dx = - 3 x$

      El resultado es: $x^{2} - 3 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} - 9}{2 x + 3} = \frac{4 x^{2}}{2 x + 3} - \frac{9}{2 x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x^{2}}{2 x + 3}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{2 x + 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{2 x + 3} = \frac{x}{2} - \frac{3}{4} + \frac{9}{4 \left(2 x + 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{3}{4}\right)\, dx = - \frac{3 x}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{9}{4 \left(2 x + 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{4}$

               1. que $u = 2 x + 3$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{8}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} + \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} - 3 x + \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{9}{2 x + 3}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 3$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

      El resultado es: $x^{2} - 3 x + \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(x - 3\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(x - 3\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(x - 3\right)+ \mathrm{constant}$