Integral de xsqrt(1+x^2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

      Luego que $du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3} = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + x \sqrt{x^{2} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(_u**2 - 1)/_u**6, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, symbol=_theta), restriction=True, context=x**3*sqrt(x**2 + 1), symbol=x)

      1. que $u = x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{3} = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} + x \sqrt{x^{2} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(_u**2 - 1)/_u**6, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, symbol=_theta), restriction=True, context=x**3*sqrt(x**2 + 1), symbol=x)

      1. que $u = x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$