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Resolución de integrales/ sin(x/5)/ (5*ч+1)sin(x/5)

Integral de (5*ч+1)sin(x/5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (5*x + 1)*sin|-| dx
 |               \5/   
 |                     
/                      
0
∫01(5x+1)sin⁡(x5) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx 
Integral((5*x + 1)*sin(x/5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+1)sin⁡(x5)=5xsin⁡(x5)+sin⁡(x5)\left(5 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(x5) dx=5∫xsin⁡(x5) dx\int 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

            Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

            ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5cos⁡(x5)) dx=−5∫cos⁡(x5) dx\int \left(- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

          1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

            Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

            ∫5cos⁡(u) du\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)5 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(x5)5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(x5)- 25 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

      1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

        Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

        ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

      El resultado es: −25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)−5cos⁡(x5)- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=5x+1u{\left(x \right)} = 5 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=5\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

        Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

        ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−25cos⁡(x5)) dx=−25∫cos⁡(x5) dx\int \left(- 25 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\right)\, dx = - 25 \int \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

      1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

        Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

        ∫5cos⁡(u) du\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)5 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5sin⁡(x5)5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −125sin⁡(x5)- 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+1)sin⁡(x5)=5xsin⁡(x5)+sin⁡(x5)\left(5 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(x5) dx=5∫xsin⁡(x5) dx\int 5 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

            Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

            ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5cos⁡(x5)) dx=−5∫cos⁡(x5) dx\int \left(- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx

          1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

            Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

            ∫5cos⁡(u) du\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)5 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(x5)5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(x5)- 25 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}

      1. que u=x5u = \frac{x}{5}.

        Luego que du=dx5du = \frac{dx}{5} y ponemos 5du5 du:

        ∫5sin⁡(u) du\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)- 5 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(x5)- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

      El resultado es: −25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)−5cos⁡(x5)- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)−5cos⁡(x5)+constant- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)−5cos⁡(x5)+constant- 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
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 |              /x\               /x\          /x\           /x\
 | (5*x + 1)*sin|-| dx = C - 5*cos|-| + 125*sin|-| - 25*x*cos|-|
 |              \5/               \5/          \5/           \5/
 |                                                              
/
∫(5x+1)sin⁡(x5) dx=C−25xcos⁡(x5)+125sin⁡(x5)−5cos⁡(x5)\int \left(5 x + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = C - 25 x \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} - 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5 - 30*cos(1/5) + 125*sin(1/5)
−30cos⁡(15)+5+125sin⁡(15)- 30 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)} + 5 + 125 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} 
=
= 
5 - 30*cos(1/5) + 125*sin(1/5)
−30cos⁡(15)+5+125sin⁡(15)- 30 \cos{\left(\frac{1}{5} \right)} + 5 + 125 \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} 
5 - 30*cos(1/5) + 125*sin(1/5)
Respuesta numérica [src] 
0.431669014145403
0.431669014145403

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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