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Resolución de integrales/ e^(2*x)/ sin(2*x)/ sin(2*x)*e^(2*x)

Integral de sin(2*x)*e^(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |            2*x   
 |  sin(2*x)*E    dx
 |                  
/                   
0
∫01e2xsin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(sin(2*x)*E^(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=2xu = 2 x.

    Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

    ∫eusin⁡(u)2 du\int \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫eusin⁡(u) du=∫eusin⁡(u) du2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

          que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

        2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

          que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto,

          ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: eusin⁡(u)4−eucos⁡(u)4\frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    e2xsin⁡(2x)4−e2xcos⁡(2x)4\frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    −2e2xcos⁡(2x+π4)4- \frac{\sqrt{2} e^{2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2e2xcos⁡(2x+π4)4+constant- \frac{\sqrt{2} e^{2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2e2xcos⁡(2x+π4)4+constant- \frac{\sqrt{2} e^{2 x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                  2*x    2*x         
 |           2*x          cos(2*x)*e      e   *sin(2*x)
 | sin(2*x)*E    dx = C - ------------- + -------------
 |                              4               4      
/
∫e2xsin⁡(2x) dx=C+e2xsin⁡(2x)4−e2xcos⁡(2x)4\int e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            2    2       
1   cos(2)*e    e *sin(2)
- - --------- + ---------
4       4           4
14−e2cos⁡(2)4+e2sin⁡(2)4\frac{1}{4} - \frac{e^{2} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{e^{2} \sin{\left(2 \right)}}{4} 
=
= 
            2    2       
1   cos(2)*e    e *sin(2)
- - --------- + ---------
4       4           4
14−e2cos⁡(2)4+e2sin⁡(2)4\frac{1}{4} - \frac{e^{2} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{e^{2} \sin{\left(2 \right)}}{4} 
1/4 - cos(2)*exp(2)/4 + exp(2)*sin(2)/4
Respuesta numérica [src] 
2.6984455045169
2.6984455045169

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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