Integral de (x+x^(1/3))^2/(x)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{\frac{13}{2}} + 6 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{\frac{5}{2}}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{\frac{13}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{13}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{13}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{\frac{9}{2}}\, du = 6 \int u^{\frac{9}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{9}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{11}{2}}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{\frac{11}{2}}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{\frac{5}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{5}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{\frac{15}{2}}}{5} + \frac{12 u^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt[3]{x} + x\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{2 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + x^{2}}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{\frac{20}{3}} + 4 u^{\frac{16}{3}} + 2 u^{4}}{u^{10}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{\frac{20}{3}} + 4 u^{\frac{16}{3}} + 2 u^{4}}{u^{10}}\, du = - \int \frac{2 u^{\frac{20}{3}} + 4 u^{\frac{16}{3}} + 2 u^{4}}{u^{10}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{\frac{20}{3}} + 4 u^{\frac{16}{3}} + 2 u^{4}}{u^{10}} = \frac{2}{u^{6}} + \frac{2}{u^{\frac{10}{3}}} + \frac{4}{u^{\frac{14}{3}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{6}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - \frac{3}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u^{\frac{14}{3}}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{14}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{14}{3}}}\, du = - \frac{3}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

            El resultado es: $- \frac{2}{5 u^{5}} - \frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}} - \frac{12}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{5 u^{5}} + \frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}} + \frac{12}{11 u^{\frac{11}{3}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt[3]{x} + x\right)^{2}}{\sqrt{x}} = 2 x^{\frac{5}{6}} + \sqrt[6]{x} + x^{\frac{3}{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{\frac{5}{6}}\, dx = 2 \int x^{\frac{5}{6}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[6]{x}\, dx = \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{12 x^{\frac{11}{6}}}{11} + \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$