Integral de 1/x(x^5+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{5}$.

      Luego que $du = 5 x^{4} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u + 1}{5 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u}\, du}{5}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 1}{u} = 1 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $u + \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{5} + \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{5}}{5} + \frac{\log{\left(x^{5} \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5} + 1}{x} = x^{4} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5}}{5} + \frac{\log{\left(x^{5} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{\log{\left(x^{5} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$