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Resolución de integrales/ (x+2)/ (x+1)/ (x+2)*ln(x+1)

Integral de (x+2)*ln(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                      
  /                      
 |                       
 |  (x + 2)*log(x + 1) dx
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/                        
1
∫12(x+2)log⁡(x+1) dx\int\limits_{1}^{2} \left(x + 2\right) \log{\left(x + 1 \right)}\, dx 
Integral((x + 2)*log(x + 1), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+2)log⁡(x+1)=xlog⁡(x+1)+2log⁡(x+1)\left(x + 2\right) \log{\left(x + 1 \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

        Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x22(x+1) dx=∫x2x+1 dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x24−x2+log⁡(x+1)2\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2log⁡(x+1) dx=2∫log⁡(x+1) dx\int 2 \log{\left(x + 1 \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x + 1 \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

              Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −x+(x+1)log⁡(x+1)−1- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 1

          Método #2

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

            Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Vuelva a escribir el integrando:

            xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

          3. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

              1. que u=x+1u = x + 1.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

            El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x+2(x+1)log⁡(x+1)−2- 2 x + 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 2

      El resultado es: x2log⁡(x+1)2−x24−3x2+2(x+1)log⁡(x+1)−log⁡(x+1)2−2\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=x+2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 2.

      Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

        El resultado es: x22+2x\frac{x^{2}}{2} + 2 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x22+2xx+1=x2+32−32(x+1)\frac{\frac{x^{2}}{2} + 2 x}{x + 1} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \left(x + 1\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫32 dx=3x2\int \frac{3}{2}\, dx = \frac{3 x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−32(x+1)) dx=−3∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x+1)2- \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x24+3x2−3log⁡(x+1)2\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+2)log⁡(x+1)=xlog⁡(x+1)+2log⁡(x+1)\left(x + 2\right) \log{\left(x + 1 \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

        Entonces du⁡(x)=1x+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x22(x+1) dx=∫x2x+1 dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x24−x2+log⁡(x+1)2\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2log⁡(x+1) dx=2∫log⁡(x+1) dx\int 2 \log{\left(x + 1 \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x + 1 \right)}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

            Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −x+(x+1)log⁡(x+1)−1- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 1

        Por lo tanto, el resultado es: −2x+2(x+1)log⁡(x+1)−2- 2 x + 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - 2

      El resultado es: x2log⁡(x+1)2−x24−3x2+2(x+1)log⁡(x+1)−log⁡(x+1)2−2\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2

  2. Ahora simplificar:

    x2log⁡(x+1)2−x24+2xlog⁡(x+1)−3x2+3log⁡(x+1)2−2\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{3 x}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(x+1)2−x24+2xlog⁡(x+1)−3x2+3log⁡(x+1)2−2+constant\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{3 x}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(x+1)2−x24+2xlog⁡(x+1)−3x2+3log⁡(x+1)2−2+constant\frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{3 x}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     2    2                                  
 |                                  3*x   log(1 + x)   x    x *log(1 + x)                       
 | (x + 2)*log(x + 1) dx = -2 + C - --- - ---------- - -- + ------------- + 2*(1 + x)*log(1 + x)
 |                                   2        2        4          2                             
/
∫(x+2)log⁡(x+1) dx=C+x2log⁡(x+1)2−x24−3x2+2(x+1)log⁡(x+1)−log⁡(x+1)2−2\int \left(x + 2\right) \log{\left(x + 1 \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + 2 \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 2
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  9              15*log(3)
- - - 4*log(2) + ---------
  4                  2
−4log⁡(2)−94+15log⁡(3)2- 4 \log{\left(2 \right)} - \frac{9}{4} + \frac{15 \log{\left(3 \right)}}{2} 
=
= 
  9              15*log(3)
- - - 4*log(2) + ---------
  4                  2
−4log⁡(2)−94+15log⁡(3)2- 4 \log{\left(2 \right)} - \frac{9}{4} + \frac{15 \log{\left(3 \right)}}{2} 
-9/4 - 4*log(2) + 15*log(3)/2
Respuesta numérica [src] 
3.21700344277104
3.21700344277104

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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