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Resolución de integrales/ 2sinx/ 3sinx/ (2-2sinx)(-3sinx)

Integral de (2-2sinx)(-3sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
  /                            
 |                             
 |  (2 - 2*sin(x))*-3*sin(x) dx
 |                             
/                              
0
∫01(2−2sin⁡(x))(−3sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((2 - 2*sin(x))*(-3*sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−2sin⁡(x))(−3sin⁡(x))=6sin⁡2(x)−6sin⁡(x)\left(2 - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right) = 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡2(x) dx=6∫sin⁡2(x) dx\int 6 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x−3sin⁡(2x)23 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: 3x−3sin⁡(2x)2+6cos⁡(x)3 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2−2sin⁡(x))(−3sin⁡(x))=6sin⁡2(x)−6sin⁡(x)\left(2 - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right) = 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡2(x) dx=6∫sin⁡2(x) dx\int 6 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x−3sin⁡(2x)23 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(x)) dx=−6∫sin⁡(x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x)6 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: 3x−3sin⁡(2x)2+6cos⁡(x)3 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x−3sin⁡(2x)2+6cos⁡(x)+constant3 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x−3sin⁡(2x)2+6cos⁡(x)+constant3 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                                                    3*sin(2*x)
 | (2 - 2*sin(x))*-3*sin(x) dx = C + 3*x + 6*cos(x) - ----------
 |                                                        2     
/
∫(2−2sin⁡(x))(−3sin⁡(x)) dx=C+3x−3sin⁡(2x)2+6cos⁡(x)\int \left(2 - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = C + 3 x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          2           2                                
-6 + 3*cos (1) + 3*sin (1) + 6*cos(1) - 3*cos(1)*sin(1)
−6−3sin⁡(1)cos⁡(1)+3cos⁡2(1)+3sin⁡2(1)+6cos⁡(1)-6 - 3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 3 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 6 \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
          2           2                                
-6 + 3*cos (1) + 3*sin (1) + 6*cos(1) - 3*cos(1)*sin(1)
−6−3sin⁡(1)cos⁡(1)+3cos⁡2(1)+3sin⁡2(1)+6cos⁡(1)-6 - 3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 3 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 3 \sin^{2}{\left(1 \right)} + 6 \cos{\left(1 \right)} 
-6 + 3*cos(1)^2 + 3*sin(1)^2 + 6*cos(1) - 3*cos(1)*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
-1.12213230502968
-1.12213230502968

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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