Integral de (1/2)(2x)d(1-2x^2)/(1-2x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{2 x}{2}$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $d du$:

      $\int d u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = d \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} d}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{d x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{d \frac{2 x}{2} \left(1 - 2 x^{2}\right)}{1 - 2 x^{2}} = - \frac{2 d x^{3}}{1 - 2 x^{2}} + \frac{d x}{1 - 2 x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 d x^{3}}{1 - 2 x^{2}}\right)\, dx = - 2 d \int \frac{x^{3}}{1 - 2 x^{2}}\, dx$

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{u}{4 u - 2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{4 u - 2}\, du = - \int \frac{u}{4 u - 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{4 u - 2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 u - 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{4 \left(2 u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{2 u - 1}\, du}{4}$

                     1. que $u = 2 u - 1$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{8}$

                  El resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{4} - \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 d \left(- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{8}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{d x}{1 - 2 x^{2}}\, dx = d \int \frac{x}{1 - 2 x^{2}}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{1 - 2 x^{2}}\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{4 x}{1 - 2 x^{2}}\right)\, dx}{4}$

            1. que $u = 1 - 2 x^{2}$.

               Luego que $du = - 4 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

               $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{d \log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}}{4}$

      El resultado es: $- 2 d \left(- \frac{x^{2}}{4} - \frac{\log{\left(2 x^{2} - 1 \right)}}{8}\right) - \frac{d \log{\left(1 - 2 x^{2} \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{d x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{d x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$