Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+2)/ (x-2)/ (x-5)/ (2-4x^2)/((x+2)(x-2)(x-5))

Integral de (2-4x^2)/((x+2)(x-2)(x-5)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |                 2          
 |          2 - 4*x           
 |  ----------------------- dx
 |  (x + 2)*(x - 2)*(x - 5)   
 |                            
/                             
0
∫012−4x2(x−2)(x+2)(x−5) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - 4 x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 5\right)}\, dx 
Integral((2 - 4*x^2)/((((x + 2)*(x - 2))*(x - 5))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−4x2(x−2)(x+2)(x−5)=−12(x+2)+76(x−2)−143(x−5)\frac{2 - 4 x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 5\right)} = - \frac{1}{2 \left(x + 2\right)} + \frac{7}{6 \left(x - 2\right)} - \frac{14}{3 \left(x - 5\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x+2)) dx=−∫1x+2 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{2}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+2)2- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫76(x−2) dx=7∫1x−2 dx6\int \frac{7}{6 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{7 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{6}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 7log⁡(x−2)6\frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−143(x−5)) dx=−14∫1x−5 dx3\int \left(- \frac{14}{3 \left(x - 5\right)}\right)\, dx = - \frac{14 \int \frac{1}{x - 5}\, dx}{3}

        1. que u=x−5u = x - 5.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −14log⁡(x−5)3- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3}

      El resultado es: −14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−4x2(x−2)(x+2)(x−5)=−4x2−2x3−5x2−4x+20\frac{2 - 4 x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 5\right)} = - \frac{4 x^{2} - 2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4x2−2x3−5x2−4x+20) dx=−∫4x2−2x3−5x2−4x+20 dx\int \left(- \frac{4 x^{2} - 2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\right)\, dx = - \int \frac{4 x^{2} - 2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        4x2−2x3−5x2−4x+20=12(x+2)−76(x−2)+143(x−5)\frac{4 x^{2} - 2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20} = \frac{1}{2 \left(x + 2\right)} - \frac{7}{6 \left(x - 2\right)} + \frac{14}{3 \left(x - 5\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(x+2) dx=∫1x+2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{2}

          1. que u=x+2u = x + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)2\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−76(x−2)) dx=−7∫1x−2 dx6\int \left(- \frac{7}{6 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{6}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(x−2)6- \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫143(x−5) dx=14∫1x−5 dx3\int \frac{14}{3 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{14 \int \frac{1}{x - 5}\, dx}{3}

          1. que u=x−5u = x - 5.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 14log⁡(x−5)3\frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3}

        El resultado es: 14log⁡(x−5)3−7log⁡(x−2)6+log⁡(x+2)2\frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} - \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−4x2(x−2)(x+2)(x−5)=−4x2x3−5x2−4x+20+2x3−5x2−4x+20\frac{2 - 4 x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 5\right)} = - \frac{4 x^{2}}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20} + \frac{2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x2x3−5x2−4x+20) dx=−4∫x2x3−5x2−4x+20 dx\int \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x3−5x2−4x+20=17(x+2)−13(x−2)+2521(x−5)\frac{x^{2}}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20} = \frac{1}{7 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 2\right)} + \frac{25}{21 \left(x - 5\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫17(x+2) dx=∫1x+2 dx7\int \frac{1}{7 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{7}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)7\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13(x−2)) dx=−∫1x−2 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)3- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2521(x−5) dx=25∫1x−5 dx21\int \frac{25}{21 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{x - 5}\, dx}{21}

            1. que u=x−5u = x - 5.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 25log⁡(x−5)21\frac{25 \log{\left(x - 5 \right)}}{21}

          El resultado es: 25log⁡(x−5)21−log⁡(x−2)3+log⁡(x+2)7\frac{25 \log{\left(x - 5 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −100log⁡(x−5)21+4log⁡(x−2)3−4log⁡(x+2)7- \frac{100 \log{\left(x - 5 \right)}}{21} + \frac{4 \log{\left(x - 2 \right)}}{3} - \frac{4 \log{\left(x + 2 \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3−5x2−4x+20 dx=2∫1x3−5x2−4x+20 dx\int \frac{2}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−5x2−4x+20=128(x+2)−112(x−2)+121(x−5)\frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20} = \frac{1}{28 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{12 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{21 \left(x - 5\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫128(x+2) dx=∫1x+2 dx28\int \frac{1}{28 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{28}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)28\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{28}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−112(x−2)) dx=−∫1x−2 dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{12}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)12- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{12}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫121(x−5) dx=∫1x−5 dx21\int \frac{1}{21 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 5}\, dx}{21}

            1. que u=x−5u = x - 5.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−5)21\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{21}

          El resultado es: log⁡(x−5)21−log⁡(x−2)12+log⁡(x+2)28\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{12} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{28}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−5)21−log⁡(x−2)6+log⁡(x+2)14\frac{2 \log{\left(x - 5 \right)}}{21} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{14}

      El resultado es: −14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2+constant- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2+constant- \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                            
 |                                                                             
 |                2                                                            
 |         2 - 4*x                  14*log(-5 + x)   log(2 + x)   7*log(-2 + x)
 | ----------------------- dx = C - -------------- - ---------- + -------------
 | (x + 2)*(x - 2)*(x - 5)                3              2              6      
 |                                                                             
/
∫2−4x2(x−2)(x+2)(x−5) dx=C−14log⁡(x−5)3+7log⁡(x−2)6−log⁡(x+2)2\int \frac{2 - 4 x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 5\right)}\, dx = C - \frac{14 \log{\left(x - 5 \right)}}{3} + \frac{7 \log{\left(x - 2 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.25-0.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  14*log(4)   2*log(2)   log(3)   14*log(5)
- --------- - -------- - ------ + ---------
      3          3         2          3
−14log⁡(4)3−log⁡(3)2−2log⁡(2)3+14log⁡(5)3- \frac{14 \log{\left(4 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{14 \log{\left(5 \right)}}{3} 
=
= 
  14*log(4)   2*log(2)   log(3)   14*log(5)
- --------- - -------- - ------ + ---------
      3          3         2          3
−14log⁡(4)3−log⁡(3)2−2log⁡(2)3+14log⁡(5)3- \frac{14 \log{\left(4 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{14 \log{\left(5 \right)}}{3} 
-14*log(4)/3 - 2*log(2)/3 - log(3)/2 + 14*log(5)/3
Respuesta numérica [src] 
0.0299323080922938
0.0299323080922938

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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