Integral de (16-x^2)^4 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(16 - x^{2}\right)^{4} = x^{8} - 64 x^{6} + 1536 x^{4} - 16384 x^{2} + 65536$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 64 x^{6}\right)\, dx = - 64 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1536 x^{4}\, dx = 1536 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1536 x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 16384 x^{2}\right)\, dx = - 16384 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16384 x^{3}}{3}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 65536\, dx = 65536 x$

   El resultado es: $\frac{x^{9}}{9} - \frac{64 x^{7}}{7} + \frac{1536 x^{5}}{5} - \frac{16384 x^{3}}{3} + 65536 x$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(35 x^{8} - 2880 x^{6} + 96768 x^{4} - 1720320 x^{2} + 20643840\right)}{315}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(35 x^{8} - 2880 x^{6} + 96768 x^{4} - 1720320 x^{2} + 20643840\right)}{315}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(35 x^{8} - 2880 x^{6} + 96768 x^{4} - 1720320 x^{2} + 20643840\right)}{315}+ \mathrm{constant}$