Integral de tan⁵xsec³x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$