Integral de tan⁵xsec³x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                   
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 |                    
 |     5       3      
 |  tan (x)*sec (x) dx
 |                    
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(tan(x)^5*sec(x)^3, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5}$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{6}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{6}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(15 \sec^{4}{\left(x \right)} - 42 \sec^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sec^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                      
 |                               5         3         7   
 |    5       3             2*sec (x)   sec (x)   sec (x)
 | tan (x)*sec (x) dx = C - --------- + ------- + -------
 |                              5          3         7   
/

$$\int \tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sec^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                   2            4   
   8    15 - 42*cos (1) + 35*cos (1)
- --- + ----------------------------
  105                  7            
                105*cos (1)

$$- \frac{8}{105} + \frac{- 42 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 35 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 15}{105 \cos^{7}{\left(1 \right)}}$$

                   2            4   
   8    15 - 42*cos (1) + 35*cos (1)
- --- + ----------------------------
  105                  7            
                105*cos (1)

$$- \frac{8}{105} + \frac{- 42 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 35 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 15}{105 \cos^{7}{\left(1 \right)}}$$

-8/105 + (15 - 42*cos(1)^2 + 35*cos(1)^4)/(105*cos(1)^7)

Respuesta numérica [src]

3.97784345822436

3.97784345822436

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de tan⁵xsec³x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3