Integral de -(sin(5x))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \sin^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(5 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 10 x$.

            Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}+ \mathrm{constant}$