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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^3/ sin^2xcos^3xdx

Integral de sin^2xcos^3xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
 --                   
 2                    
  /                   
 |                    
 |     2       3      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0
∫0π2sin⁡2(x)cos⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^2*cos(x)^3, (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(−u4+u2) du\int \left(- u^{4} + u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        El resultado es: −u55+u33- \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))sin⁡2(x)cos⁡(x)=−sin⁡4(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             5         3   
 |    2       3             sin (x)   sin (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - ------- + -------
 |                             5         3   
/
∫sin⁡2(x)cos⁡3(x) dx=C−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.50.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2/15
215\frac{2}{15} 
=
= 
2/15
215\frac{2}{15} 
2/15
Respuesta numérica [src] 
0.133333333333333
0.133333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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