Integral de (0,25exp(x/2)-0,5)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{x}}{16} + \frac{1}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{\frac{x}{2}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{x}\, dx}{16}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{x}}{16} + \frac{1}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{\frac{x}{2}}\, dx}{4}$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{x}}{16}\, dx = \frac{\int e^{x}\, dx}{16}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{x}}{16}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{4} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{4} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{16}+ \mathrm{constant}$