Integral de x^2*((x^4-2x+(6-x)^2)/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x^{2} \frac{\left(6 - x\right)^{2} + \left(x^{4} - 2 x\right)}{2} = \frac{x^{6}}{2} + \frac{x^{4}}{2} - 7 x^{3} + 18 x^{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{6}}{2}\, dx = \frac{\int x^{6}\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{7}}{14}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{4}}{2}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{10}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 7 x^{3}\right)\, dx = - 7 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 18 x^{2}\, dx = 18 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{3}$

   El resultado es: $\frac{x^{7}}{14} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{7 x^{4}}{4} + 6 x^{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(10 x^{4} + 14 x^{2} - 245 x + 840\right)}{140}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(10 x^{4} + 14 x^{2} - 245 x + 840\right)}{140}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(10 x^{4} + 14 x^{2} - 245 x + 840\right)}{140}+ \mathrm{constant}$