Integral de (x+y)/(x-y) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + y}{x - y} = \frac{2 y}{x - y} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 y}{x - y}\, dx = 2 y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

         1. que $u = x - y$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - y \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 y \log{\left(x - y \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x + 2 y \log{\left(x - y \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + y}{x - y} = \frac{x}{x - y} + \frac{y}{x - y}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x - y} = \frac{y}{x - y} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

            1. que $u = x - y$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - y \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $y \log{\left(x - y \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $x + y \log{\left(x - y \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

         1. que $u = x - y$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - y \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $y \log{\left(x - y \right)}$

      El resultado es: $x + 2 y \log{\left(x - y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + 2 y \log{\left(x - y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + 2 y \log{\left(x - y \right)}+ \mathrm{constant}$