Integral de (x-√(1+x²))² dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} = 2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \sqrt{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int x \sqrt{x^{2} + 1}\, dx$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + x - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} = 2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \sqrt{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int x \sqrt{x^{2} + 1}\, dx$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} + x - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{3}}{3} + x - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3}}{3} + x - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$