Integral de (x^5+3)^6*x^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{5} + 3$.

      Luego que $du = 5 x^{4} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{6}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{35}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{5} + 3\right)^{7}}{35}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{4} \left(x^{5} + 3\right)^{6} = x^{34} + 18 x^{29} + 135 x^{24} + 540 x^{19} + 1215 x^{14} + 1458 x^{9} + 729 x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{34}\, dx = \frac{x^{35}}{35}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 x^{29}\, dx = 18 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{30}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 135 x^{24}\, dx = 135 \int x^{24}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{25}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 540 x^{19}\, dx = 540 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1215 x^{14}\, dx = 1215 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $81 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1458 x^{9}\, dx = 1458 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 729 x^{4}\, dx = 729 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{5}}{5}$

      El resultado es: $\frac{x^{35}}{35} + \frac{3 x^{30}}{5} + \frac{27 x^{25}}{5} + 27 x^{20} + 81 x^{15} + \frac{729 x^{10}}{5} + \frac{729 x^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{5} + 3\right)^{7}}{35}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{5} + 3\right)^{7}}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{5} + 3\right)^{7}}{35}+ \mathrm{constant}$