Integral de (x^(1/4)-2x+5)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{8 u^{4} - 4 u - 20}{u^{5}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 u^{4} - 4 u - 20}{u^{5}}\, du = - \int \frac{8 u^{4} - 4 u - 20}{u^{5}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{8 u^{4} - 4 u - 20}{u^{5}} = \frac{8}{u} - \frac{4}{u^{4}} - \frac{20}{u^{5}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{u}\, du = 8 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4}{u^{4}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{3 u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{20}{u^{5}}\right)\, du = - 20 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{u^{4}}$

            El resultado es: $8 \log{\left(u \right)} + \frac{4}{3 u^{3}} + \frac{5}{u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(u \right)} - \frac{4}{3 u^{3}} - \frac{5}{u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 8 \log{\left(\sqrt[4]{x} \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt[4]{x} - 2 x\right) + 5}{x^{2}} = - \frac{- \sqrt[4]{x} + 2 x - 5}{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- \sqrt[4]{x} + 2 x - 5}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{- \sqrt[4]{x} + 2 x - 5}{x^{2}}\, dx$

      1. que $u = - \sqrt[4]{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{8 u^{4} + 4 u - 20}{u^{5}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{8 u^{4} + 4 u - 20}{u^{5}} = \frac{8}{u} + \frac{4}{u^{4}} - \frac{20}{u^{5}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{u}\, du = 8 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u^{4}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{3 u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{20}{u^{5}}\right)\, du = - 20 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{u^{4}}$

            El resultado es: $8 \log{\left(u \right)} - \frac{4}{3 u^{3}} + \frac{5}{u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $8 \log{\left(- \sqrt[4]{x} \right)} + \frac{5}{x} + \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(- \sqrt[4]{x} \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt[4]{x} - 2 x\right) + 5}{x^{2}} = - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{2}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}\, dx = - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

      El resultado es: $- 2 \log{\left(x \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 \log{\left(x \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \log{\left(x \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \log{\left(x \right)} - \frac{5}{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}+ \mathrm{constant}$