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Resolución de integrales/ 1/((sqrt(x+3)-25)*(x+3)^1/4)

Integral de 1/((sqrt(x+3)-25)*(x+3)^1/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                              
  /                              
 |                               
 |              1                
 |  -------------------------- dx
 |  /  _______     \ 4 _______   
 |  \\/ x + 3  - 25/*\/ x + 3    
 |                               
/                                
0
∫011x+34(x+3−25) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 3} \left(\sqrt{x + 3} - 25\right)}\, dx 
Integral(1/((sqrt(x + 3) - 25)*(x + 3)^(1/4)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x+34(x+3−25)=1(x+3)34−25x+34\frac{1}{\sqrt[4]{x + 3} \left(\sqrt{x + 3} - 25\right)} = \frac{1}{\left(x + 3\right)^{\frac{3}{4}} - 25 \sqrt[4]{x + 3}}

    2. que u=(x+3)34u = \left(x + 3\right)^{\frac{3}{4}}.

      Luego que du=3dx4x+34du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x + 3}} y ponemos 4du4 du:

      ∫4u3−75u3+3u du\int \frac{4 \sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3−75u3+3u du=4∫u3−75u3+3u du\int \frac{\sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du = 4 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du

        1. que u=u3u = \sqrt[3]{u}.

          Luego que du=du3u23du = \frac{du}{3 u^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

          ∫u2u2−25 du\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 25}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u2−25=1−52(u+5)+52(u−5)\frac{u^{2}}{u^{2} - 25} = 1 - \frac{5}{2 \left(u + 5\right)} + \frac{5}{2 \left(u - 5\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−52(u+5)) du=−5∫1u+5 du2\int \left(- \frac{5}{2 \left(u + 5\right)}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u + 5}\, du}{2}

              1. que u=u+5u = u + 5.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+5)\log{\left(u + 5 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(u+5)2- \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫52(u−5) du=5∫1u−5 du2\int \frac{5}{2 \left(u - 5\right)}\, du = \frac{5 \int \frac{1}{u - 5}\, du}{2}

              1. que u=u−5u = u - 5.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−5)\log{\left(u - 5 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(u−5)2\frac{5 \log{\left(u - 5 \right)}}{2}

            El resultado es: u+5log⁡(u−5)2−5log⁡(u+5)2u + \frac{5 \log{\left(u - 5 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u3+5log⁡(u3−5)2−5log⁡(u3+5)2\sqrt[3]{u} + \frac{5 \log{\left(\sqrt[3]{u} - 5 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(\sqrt[3]{u} + 5 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4u3+10log⁡(u3−5)−10log⁡(u3+5)4 \sqrt[3]{u} + 10 \log{\left(\sqrt[3]{u} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[3]{u} + 5 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x+34+10log⁡(x+34−5)−10log⁡(x+34+5)4 \sqrt[4]{x + 3} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} + 5 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x+34(x+3−25)=1(x+3)34−25x+34\frac{1}{\sqrt[4]{x + 3} \left(\sqrt{x + 3} - 25\right)} = \frac{1}{\left(x + 3\right)^{\frac{3}{4}} - 25 \sqrt[4]{x + 3}}

    2. que u=(x+3)34u = \left(x + 3\right)^{\frac{3}{4}}.

      Luego que du=3dx4x+34du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x + 3}} y ponemos 4du4 du:

      ∫4u3−75u3+3u du\int \frac{4 \sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3−75u3+3u du=4∫u3−75u3+3u du\int \frac{\sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du = 4 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{- 75 \sqrt[3]{u} + 3 u}\, du

        1. que u=u3u = \sqrt[3]{u}.

          Luego que du=du3u23du = \frac{du}{3 u^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

          ∫u2u2−25 du\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 25}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u2−25=1−52(u+5)+52(u−5)\frac{u^{2}}{u^{2} - 25} = 1 - \frac{5}{2 \left(u + 5\right)} + \frac{5}{2 \left(u - 5\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−52(u+5)) du=−5∫1u+5 du2\int \left(- \frac{5}{2 \left(u + 5\right)}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u + 5}\, du}{2}

              1. que u=u+5u = u + 5.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+5)\log{\left(u + 5 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(u+5)2- \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫52(u−5) du=5∫1u−5 du2\int \frac{5}{2 \left(u - 5\right)}\, du = \frac{5 \int \frac{1}{u - 5}\, du}{2}

              1. que u=u−5u = u - 5.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−5)\log{\left(u - 5 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(u−5)2\frac{5 \log{\left(u - 5 \right)}}{2}

            El resultado es: u+5log⁡(u−5)2−5log⁡(u+5)2u + \frac{5 \log{\left(u - 5 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u3+5log⁡(u3−5)2−5log⁡(u3+5)2\sqrt[3]{u} + \frac{5 \log{\left(\sqrt[3]{u} - 5 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(\sqrt[3]{u} + 5 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4u3+10log⁡(u3−5)−10log⁡(u3+5)4 \sqrt[3]{u} + 10 \log{\left(\sqrt[3]{u} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[3]{u} + 5 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x+34+10log⁡(x+34−5)−10log⁡(x+34+5)4 \sqrt[4]{x + 3} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} + 5 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4x+34+10log⁡(x+34−5)−10log⁡(x+34+5)+constant4 \sqrt[4]{x + 3} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x+34+10log⁡(x+34−5)−10log⁡(x+34+5)+constant4 \sqrt[4]{x + 3} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} + 5 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                
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 |             1                             /    4 _______\     4 _______         /     4 _______\
 | -------------------------- dx = C - 10*log\5 + \/ 3 + x / + 4*\/ 3 + x  + 10*log\-5 + \/ 3 + x /
 | /  _______     \ 4 _______                                                                      
 | \\/ x + 3  - 25/*\/ x + 3                                                                       
 |                                                                                                 
/
∫1x+34(x+3−25) dx=C+4x+34+10log⁡(x+34−5)−10log⁡(x+34+5)\int \frac{1}{\sqrt[4]{x + 3} \left(\sqrt{x + 3} - 25\right)}\, dx = C + 4 \sqrt[4]{x + 3} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} - 5 \right)} - 10 \log{\left(\sqrt[4]{x + 3} + 5 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.034-0.030
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        /      ___\         /    4 ___\     4 ___       ___         /    4 ___\         /      ___\
- 10*log\5 + \/ 2 / - 10*log\5 - \/ 3 / - 4*\/ 3  + 4*\/ 2  + 10*log\5 + \/ 3 / + 10*log\5 - \/ 2 /
−10log⁡(2+5)−10log⁡(5−34)−434+42+10log⁡(5−2)+10log⁡(34+5)- 10 \log{\left(\sqrt{2} + 5 \right)} - 10 \log{\left(5 - \sqrt[4]{3} \right)} - 4 \sqrt[4]{3} + 4 \sqrt{2} + 10 \log{\left(5 - \sqrt{2} \right)} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{3} + 5 \right)} 
=
= 
        /      ___\         /    4 ___\     4 ___       ___         /    4 ___\         /      ___\
- 10*log\5 + \/ 2 / - 10*log\5 - \/ 3 / - 4*\/ 3  + 4*\/ 2  + 10*log\5 + \/ 3 / + 10*log\5 - \/ 2 /
−10log⁡(2+5)−10log⁡(5−34)−434+42+10log⁡(5−2)+10log⁡(34+5)- 10 \log{\left(\sqrt{2} + 5 \right)} - 10 \log{\left(5 - \sqrt[4]{3} \right)} - 4 \sqrt[4]{3} + 4 \sqrt{2} + 10 \log{\left(5 - \sqrt{2} \right)} + 10 \log{\left(\sqrt[4]{3} + 5 \right)} 
-10*log(5 + sqrt(2)) - 10*log(5 - 3^(1/4)) - 4*3^(1/4) + 4*sqrt(2) + 10*log(5 + 3^(1/4)) + 10*log(5 - sqrt(2))
Respuesta numérica [src] 
-0.0316397146792075
-0.0316397146792075

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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