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Resolución de integrales/ e^(-6x)/ (4+8x-7x^2)*e^(-6x)

Integral de (4+8x-7x^2)*e^(-6x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                          
  /                          
 |                           
 |  /             2\  -6*x   
 |  \4 + 8*x - 7*x /*E     dx
 |                           
/                            
0
∫0∞e−6x(−7x2+(8x+4)) dx\int\limits_{0}^{\infty} e^{- 6 x} \left(- 7 x^{2} + \left(8 x + 4\right)\right)\, dx 
Integral((4 + 8*x - 7*x^2)*E^(-6*x), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−6x(−7x2+(8x+4))=−(7x2−8x−4)e−6xe^{- 6 x} \left(- 7 x^{2} + \left(8 x + 4\right)\right) = - \left(7 x^{2} - 8 x - 4\right) e^{- 6 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−(7x2−8x−4)e−6x) dx=−∫(7x2−8x−4)e−6x dx\int \left(- \left(7 x^{2} - 8 x - 4\right) e^{- 6 x}\right)\, dx = - \int \left(7 x^{2} - 8 x - 4\right) e^{- 6 x}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=7x2−8x−4u{\left(x \right)} = 7 x^{2} - 8 x - 4 y que dv⁡(x)=e−6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 6 x}.

        Entonces du⁡(x)=14x−8\operatorname{du}{\left(x \right)} = 14 x - 8.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−6xu = - 6 x.

          Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

          ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=43−7x3u{\left(x \right)} = \frac{4}{3} - \frac{7 x}{3} y que dv⁡(x)=e−6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 6 x}.

        Entonces du⁡(x)=−73\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{7}{3}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−6xu = - 6 x.

          Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

          ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7e−6x18 dx=7∫e−6x dx18\int \frac{7 e^{- 6 x}}{18}\, dx = \frac{7 \int e^{- 6 x}\, dx}{18}

        1. que u=−6xu = - 6 x.

          Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

          ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −7e−6x108- \frac{7 e^{- 6 x}}{108}

      Por lo tanto, el resultado es: −(43−7x3)e−6x6+(7x2−8x−4)e−6x6+7e−6x108- \frac{\left(\frac{4}{3} - \frac{7 x}{3}\right) e^{- 6 x}}{6} + \frac{\left(7 x^{2} - 8 x - 4\right) e^{- 6 x}}{6} + \frac{7 e^{- 6 x}}{108}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−6x(−7x2+(8x+4))=−7x2e−6x+8xe−6x+4e−6xe^{- 6 x} \left(- 7 x^{2} + \left(8 x + 4\right)\right) = - 7 x^{2} e^{- 6 x} + 8 x e^{- 6 x} + 4 e^{- 6 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7x2e−6x) dx=−7∫x2e−6x dx\int \left(- 7 x^{2} e^{- 6 x}\right)\, dx = - 7 \int x^{2} e^{- 6 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 6 x}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−6xu = - 6 x.

            Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

            ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−x3u{\left(x \right)} = - \frac{x}{3} y que dv⁡(x)=e−6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 6 x}.

          Entonces du⁡(x)=−13\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−6xu = - 6 x.

            Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

            ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e−6x18 dx=∫e−6x dx18\int \frac{e^{- 6 x}}{18}\, dx = \frac{\int e^{- 6 x}\, dx}{18}

          1. que u=−6xu = - 6 x.

            Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

            ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: −e−6x108- \frac{e^{- 6 x}}{108}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x2e−6x6+7xe−6x18+7e−6x108\frac{7 x^{2} e^{- 6 x}}{6} + \frac{7 x e^{- 6 x}}{18} + \frac{7 e^{- 6 x}}{108}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8xe−6x dx=8∫xe−6x dx\int 8 x e^{- 6 x}\, dx = 8 \int x e^{- 6 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 6 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−6xu = - 6 x.

            Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

            ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−6x6) dx=−∫e−6x dx6\int \left(- \frac{e^{- 6 x}}{6}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 6 x}\, dx}{6}

          1. que u=−6xu = - 6 x.

            Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

            ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: e−6x36\frac{e^{- 6 x}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xe−6x3−2e−6x9- \frac{4 x e^{- 6 x}}{3} - \frac{2 e^{- 6 x}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e−6x dx=4∫e−6x dx\int 4 e^{- 6 x}\, dx = 4 \int e^{- 6 x}\, dx

        1. que u=−6xu = - 6 x.

          Luego que du=−6dxdu = - 6 dx y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

          ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−6x6- \frac{e^{- 6 x}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −2e−6x3- \frac{2 e^{- 6 x}}{3}

      El resultado es: 7x2e−6x6−17xe−6x18−89e−6x108\frac{7 x^{2} e^{- 6 x}}{6} - \frac{17 x e^{- 6 x}}{18} - \frac{89 e^{- 6 x}}{108}

  2. Ahora simplificar:

    (126x2−102x−89)e−6x108\frac{\left(126 x^{2} - 102 x - 89\right) e^{- 6 x}}{108}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (126x2−102x−89)e−6x108+constant\frac{\left(126 x^{2} - 102 x - 89\right) e^{- 6 x}}{108}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(126x2−102x−89)e−6x108+constant\frac{\left(126 x^{2} - 102 x - 89\right) e^{- 6 x}}{108}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          /4   7*x\  -6*x                          
 |                                    -6*x   |- - ---|*e       /              2\  -6*x
 | /             2\  -6*x          7*e       \3    3 /         \-4 - 8*x + 7*x /*e    
 | \4 + 8*x - 7*x /*E     dx = C + ------- - --------------- + -----------------------
 |                                   108            6                     6           
/
∫e−6x(−7x2+(8x+4)) dx=C−(43−7x3)e−6x6+(7x2−8x−4)e−6x6+7e−6x108\int e^{- 6 x} \left(- 7 x^{2} + \left(8 x + 4\right)\right)\, dx = C - \frac{\left(\frac{4}{3} - \frac{7 x}{3}\right) e^{- 6 x}}{6} + \frac{\left(7 x^{2} - 8 x - 4\right) e^{- 6 x}}{6} + \frac{7 e^{- 6 x}}{108}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 89
---
108
89108\frac{89}{108} 
=
= 
 89
---
108
89108\frac{89}{108} 
89/108

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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