Integral de cos(4x)/2^(3*sin(4x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{2^{- 3 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{- 3 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int 2^{- 3 \sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

         1. que $u = - 3 \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - 3 \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(u \right)}}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(u \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{2^{3 \sin{\left(4 x \right)}}}$.

      Luego que $du = - 12 \cdot 2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12 \log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \left(- \frac{1}{12 \log{\left(2 \right)}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = - \frac{\int 1\, du}{12 \log{\left(2 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{12 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}$

   Método #3

   1. que $u = 2^{3 \sin{\left(4 x \right)}}$.

      Luego que $du = 12 \cdot 2^{3 \sin{\left(4 x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{12 \log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{12 u^{2} \log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{12 \log{\left(2 \right)}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{- 3 \sin{\left(4 x \right)}}}{12 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$