Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^2+x/ (2x-1)/ (2x^2+x)/(2x-1)

Integral de (2x^2+x)/(2x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     2       
 |  2*x  + x   
 |  -------- dx
 |  2*x - 1    
 |             
/              
0
∫012x2+x2x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x^{2} + x}{2 x - 1}\, dx 
Integral((2*x^2 + x)/(2*x - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x2+x2x−1=x+1+12x−1\frac{2 x^{2} + x}{2 x - 1} = x + 1 + \frac{1}{2 x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x22+x+log⁡(2x−1)2\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x2+x2x−1=2x22x−1+x2x−1\frac{2 x^{2} + x}{2 x - 1} = \frac{2 x^{2}}{2 x - 1} + \frac{x}{2 x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x22x−1 dx=2∫x22x−1 dx\int \frac{2 x^{2}}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{2 x - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22x−1=x2+14+14(2x−1)\frac{x^{2}}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(2x−1) dx=∫12x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}

            1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)8\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

          El resultado es: x24+x4+log⁡(2x−1)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x22+x2+log⁡(2x−1)4\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2x−1=12+12(2x−1)\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(2x−1) dx=∫12x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}

          1. que u=2x−1u = 2 x - 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x−1)4\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}

        El resultado es: x2+log⁡(2x−1)4\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}

      El resultado es: x22+x+log⁡(2x−1)2\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22+x+log⁡(2x−1)2+constant\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22+x+log⁡(2x−1)2+constant\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |    2                   2                
 | 2*x  + x              x    log(-1 + 2*x)
 | -------- dx = C + x + -- + -------------
 | 2*x - 1               2          2      
 |                                         
/
∫2x2+x2x−1 dx=C+x22+x+log⁡(2x−1)2\int \frac{2 x^{2} + x}{2 x - 1}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2500025000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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