Integral de (x^4+2x)^3(2x^3+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4} + 2 x$.

      Luego que $du = \left(4 x^{3} + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{4} + 2 x\right)^{4}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x^{3} + 1\right) \left(x^{4} + 2 x\right)^{3} = 2 x^{15} + 13 x^{12} + 30 x^{9} + 28 x^{6} + 8 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{15}\, dx = 2 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{16}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 x^{12}\, dx = 13 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30 x^{9}\, dx = 30 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 28 x^{6}\, dx = 28 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{16}}{8} + x^{13} + 3 x^{10} + 4 x^{7} + 2 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(x^{3} + 2\right)^{4}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(x^{3} + 2\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(x^{3} + 2\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$