Integral de (x^3)/(1+x^4)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(x^{4} + 1\right)^{3}} = \frac{x^{3}}{x^{12} + 3 x^{8} + 3 x^{4} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u^{6} + 6 u^{4} + 6 u^{2} + 2}\, du$

      1. que $u = u^{2}$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{4 u^{3} + 12 u^{2} + 12 u + 4}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{4 u^{3} + 12 u^{2} + 12 u + 4} = \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{3}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}\, du}{4}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 \left(u + 1\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(u^{2} + 1\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{8 \left(x^{4} + 1\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(x^{4} + 1\right)^{3}} = \frac{x^{3}}{x^{12} + 3 x^{8} + 3 x^{4} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u^{6} + 6 u^{4} + 6 u^{2} + 2}\, du$

      1. que $u = u^{2}$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{4 u^{3} + 12 u^{2} + 12 u + 4}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{4 u^{3} + 12 u^{2} + 12 u + 4} = \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{3}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}\, du}{4}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 \left(u + 1\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(u^{2} + 1\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{8 \left(x^{4} + 1\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{8 \left(x^{4} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{8 \left(x^{4} + 1\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$