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Integral de (1+3x)/(3+2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |  1 + 3*x   
 |  ------- dx
 |  3 + 2*x   
 |            
/             
0             
013x+12x+3dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 1}{2 x + 3}\, dx
Integral((1 + 3*x)/(3 + 2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      u+12u+9du\int \frac{u + 1}{2 u + 9}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u+12u+9=1272(2u+9)\frac{u + 1}{2 u + 9} = \frac{1}{2} - \frac{7}{2 \left(2 u + 9\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (72(2u+9))du=712u+9du2\int \left(- \frac{7}{2 \left(2 u + 9\right)}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{2 u + 9}\, du}{2}

          1. que u=2u+9u = 2 u + 9.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(2u+9)2\frac{\log{\left(2 u + 9 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7log(2u+9)4- \frac{7 \log{\left(2 u + 9 \right)}}{4}

        El resultado es: u27log(2u+9)4\frac{u}{2} - \frac{7 \log{\left(2 u + 9 \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x27log(6x+9)4\frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(6 x + 9 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+12x+3=3272(2x+3)\frac{3 x + 1}{2 x + 3} = \frac{3}{2} - \frac{7}{2 \left(2 x + 3\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        32dx=3x2\int \frac{3}{2}\, dx = \frac{3 x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (72(2x+3))dx=712x+3dx2\int \left(- \frac{7}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 7log(2x+3)4- \frac{7 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

      El resultado es: 3x27log(2x+3)4\frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+12x+3=3x2x+3+12x+3\frac{3 x + 1}{2 x + 3} = \frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3x2x+3dx=3x2x+3dx\int \frac{3 x}{2 x + 3}\, dx = 3 \int \frac{x}{2 x + 3}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+3=1232(2x+3)\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (32(2x+3))dx=312x+3dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}

            1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3log(2x+3)4- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

          El resultado es: x23log(2x+3)4\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x29log(2x+3)4\frac{3 x}{2} - \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

      1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 3x27log(2x+3)4\frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x27log(6x+9)4+constant\frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(6 x + 9 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3x27log(6x+9)4+constant\frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(6 x + 9 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                     
 |                                      
 | 1 + 3*x          7*log(9 + 6*x)   3*x
 | ------- dx = C - -------------- + ---
 | 3 + 2*x                4           2 
 |                                      
/                                       
3x+12x+3dx=C+3x27log(6x+9)4\int \frac{3 x + 1}{2 x + 3}\, dx = C + \frac{3 x}{2} - \frac{7 \log{\left(6 x + 9 \right)}}{4}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Respuesta [src]
3   7*log(5)   7*log(3)
- - -------- + --------
2      4          4    
7log(5)4+32+7log(3)4- \frac{7 \log{\left(5 \right)}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{7 \log{\left(3 \right)}}{4}
=
=
3   7*log(5)   7*log(3)
- - -------- + --------
2      4          4    
7log(5)4+32+7log(3)4- \frac{7 \log{\left(5 \right)}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{7 \log{\left(3 \right)}}{4}
3/2 - 7*log(5)/4 + 7*log(3)/4
Respuesta numérica [src]
0.606055158409516
0.606055158409516

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.