Integral de 4(x+4)/3-1/3(x+4)² dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\left(x + 4\right)^{2}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \left(x + 4\right)^{2}\, dx}{3}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 4\right)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} + 16 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x + 4\right)^{3}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 \left(x + 4\right)}{3}\, dx = \frac{\int 4 \left(x + 4\right)\, dx}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \left(x + 4\right)\, dx = 4 \int \left(x + 4\right)\, dx$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 4\, dx = 4 x$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 4 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2} + 16 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3}$

   El resultado es: $\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3} - \frac{\left(x + 4\right)^{3}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{3}}{9} - \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{64}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3}}{9} - \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{64}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3}}{9} - \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{64}{9}+ \mathrm{constant}$