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Resolución de integrales/ cos(2*x)/ sin(2*x)/ cos(2*x)^2*sin(2*x)^2

Integral de cos(2*x)^2*sin(2*x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |     2         2        
 |  cos (2*x)*sin (2*x) dx
 |                        
/                         
0
∫01sin⁡2(2x)cos⁡2(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(cos(2*x)^2*sin(2*x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=(12−cos⁡(4x)2)(cos⁡(4x)2+12)\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos dudu:

      ∫(116−cos⁡2(u)16) du\int \left(\frac{1}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫116 du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)16) du=−∫cos⁡2(u) du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u32−sin⁡(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

        El resultado es: u32−sin⁡(2u)64\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x8−sin⁡(8x)64\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)(cos⁡(4x)2+12)=14−cos⁡2(4x)4\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(4x)4) dx=−∫cos⁡2(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8−sin⁡(8x)64- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

      El resultado es: x8−sin⁡(8x)64\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)(cos⁡(4x)2+12)=14−cos⁡2(4x)4\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(4x)4) dx=−∫cos⁡2(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8−sin⁡(8x)64- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

      El resultado es: x8−sin⁡(8x)64\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x8−sin⁡(8x)64+constant\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x8−sin⁡(8x)64+constant\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |    2         2               sin(8*x)   x
 | cos (2*x)*sin (2*x) dx = C - -------- + -
 |                                 64      8
/
∫sin⁡2(2x)cos⁡2(2x) dx=C+x8−sin⁡(8x)64\int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.50
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
8         32
−sin⁡(4)cos⁡(4)32+18- \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} + \frac{1}{8} 
=
= 
1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
8         32
−sin⁡(4)cos⁡(4)32+18- \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} + \frac{1}{8} 
1/8 - cos(4)*sin(4)/32
Respuesta numérica [src] 
0.10954127739651
0.10954127739651

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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