Integral de 5x^4-3x^2+3x-1/x(x^2-1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 x^{4}\, dx = 5 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

         El resultado es: $x^{5} - x^{3}$

      El resultado es: $x^{5} - x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 1}{x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                  El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2} - 1}{x} = x - \frac{1}{x}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

   El resultado es: $x^{5} - x^{3} + x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{5} - x^{3} + x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{5} - x^{3} + x^{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$