Integral de (sin(x)+(x+1)^2-2^(-x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 1\right)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2^{- x}\right)\, dx = - \int 2^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- 2^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   El resultado es: $\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$