Integral de (2tgx+5ctgx) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \tan{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \cot{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

   El resultado es: $5 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $5 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$