Integral de (lnxdx)/(x(1+lnx)^1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{\sqrt{u + 1}}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u + 1}}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 2 - \frac{2}{u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}$

                  2. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  3. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u - \frac{4}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

            El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{u + 1}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}$