Sr Examen

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Integral de (lnxdx)/(x(1+lnx)^1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                    
  /                    
 |                     
 |       log(x)        
 |  ---------------- dx
 |      ____________   
 |  x*\/ 1 + log(x)    
 |                     
/                      
0                      
01log(x)xlog(x)+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{x \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}\, dx
Integral(log(x)/((x*sqrt(1 + log(x)))), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      uu+1du\int \frac{u}{\sqrt{u + 1}}\, du

      1. que u=1u+1u = \frac{1}{\sqrt{u + 1}}.

        Luego que du=du2(u+1)32du = - \frac{du}{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        (2(1+1u2)2+22u2)du\int \left(- 2 \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 2 - \frac{2}{u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2(1+1u2)2)du=2(1+1u2)2du\int \left(- 2 \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1+1u2)2=12u2+1u4\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  1du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (2u2)du=21u2du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u+2u13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1+1u2)2=u42u2+1u4\left(-1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}

              2. Vuelva a escribir el integrando:

                u42u2+1u4=12u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              3. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  1du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (2u2)du=21u2du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u+2u13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u4u+23u3- 2 u - \frac{4}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            2du=2u\int 2\, du = 2 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2u2)du=21u2du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          El resultado es: 2u+23u3- \frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(u+1)3232u+1\frac{2 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{u + 1}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(log(x)+1)3232log(x)+1\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1xlog(x)+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

        (1ulog(1u)+1)du\int \left(- \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1ulog(1u)+1du=1ulog(1u)+1du\int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\, du = - \int \frac{1}{u \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}\, du

          1. que u=log(1u)+1u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1.

            Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

            (1u)du\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2u- 2 \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2log(1u)+1- 2 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(1u)+12 \sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log(x)+12 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2log(x)+1xdx=2log(x)+1xdx\int \frac{2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

        (log(1u)+1u)du\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          log(1u)+1udu=log(1u)+1udu\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du

          1. que u=log(1u)+1u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1.

            Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

            (u)du\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              udu=udu\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                udu=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: 2u323- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2(log(1u)+1)323- \frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2(log(1u)+1)323\frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(log(x)+1)323\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 4(log(x)+1)323\frac{4 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    2(log(x)2)log(x)+13\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(log(x)2)log(x)+13+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2(log(x)2)log(x)+13+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                              
 |                                                            3/2
 |      log(x)                   ____________   2*(1 + log(x))   
 | ---------------- dx = C - 2*\/ 1 + log(x)  + -----------------
 |     ____________                                     3        
 | x*\/ 1 + log(x)                                               
 |                                                               
/                                                                
log(x)xlog(x)+1dx=C+2(log(x)+1)3232log(x)+1\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}\, dx = C + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-200200
Respuesta [src]
-4/3 + oo*I
43+i- \frac{4}{3} + \infty i
=
=
-4/3 + oo*I
43+i- \frac{4}{3} + \infty i
-4/3 + oo*i
Respuesta numérica [src]
(-1.0818887836703 + 202.533724926781j)
(-1.0818887836703 + 202.533724926781j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.