Integral de tg*(1-4*x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(1 - 4 x \right)} = - \frac{\sin{\left(4 x - 1 \right)}}{\cos{\left(4 x - 1 \right)}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{\sin{\left(4 x - 1 \right)}}{\cos{\left(4 x - 1 \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(4 x - 1 \right)}}{\cos{\left(4 x - 1 \right)}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(4 x - 1 \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x - 1 \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - 1 \right)} \right)}}{4}$

      Método #2

      1. que $u = 4 x - 1$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{4}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - 1 \right)} \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - 1 \right)} \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - 1 \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - 1 \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$